单连通域与孤立连通域有何不同?

1. 怎么判断是不是单连通域？
2. 闭区域和单连通区域有什么区别？
3. 单连通区域与多连通区域的区别？

怎么判断是不是单连通域？

单连通区域:如果任何一条属于D的简单连续闭曲线,都能连续收缩到D中预先指定的任何一点,在收缩过程中曲线始终是闭的、且完全属于D.

假设D是平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D，则称D为平面的单连通区域。否则为多连通。

闭区域和单连通区域有什么区别？

闭区域和单连通区域区别：

闭区域是连通开集的闭包。

单连通区域是一个连通开集，而且其中任何一条简单闭曲线可以收缩为一点（直观的理解就是没洞）。

闭区域就是有边界的区域,单连通域就是中间没有“洞”的区域,少一个点都不行,但是单连通域可以没有边界

单连通区域与多连通区域的区别？

多连通区域

定义:复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部不总属于B,就称多连通域。

特征:属于B的任何一条简单闭曲线,在B内不可能经过连续的变形而缩成一点。

单连通区域

定义:复平面上的一个区域B,如果X中任何一个点的回路都可以连续地收缩成这个点,那么就称X为单连通的。

平面,球面都是单连通的；但是环面不是单连通. 打个比方,救生圈就是环面,你在救生圈的环壁上绕一圈橡皮筋,打个结. 这个结就是一个点,橡皮筋张成的圈就是回路,无论如何橡皮筋不会收缩到一个点,因为它被环壁撑住了。

一条简单闭曲线的内部是单连通区域(a)，单连通区域D具有这样的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而缩成一点，而多连通区域就不具备这个特征。

《超越时空》一书这样讲述：在通常的空间中，套索总是能被收缩到一点。如果套索可以收缩到一点，那么空间就叫单连通的。然而，如果套索绕虫洞的入口放置，他就不能被收缩到一点，事实上，套索进入了虫洞。这种套索不可收缩的空间称为多连通的。

上述这种理解方式有点抽象，总是无法更好的理解，希望能得到更具象的解释，谢谢！

平面上的一个区域D，如果在其中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于D，就称D为单连通区域(a)；一个区域如果不是单连通区域，就称为多连通区域(b)。



一条简单闭曲线的内部是单连通区域(a)，单连通区域D具有这样的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而缩成一点，而多连通区域就不具备这个特征。

R区被称为多连通区域，与之相对的是单连通区域。通俗地说，单连通区域是没有“洞”的区域，多连通区域是有“洞”的区域，这个洞必须在R上



设R是一区域，若属于R内任一简单闭曲线的内部都属于R，则称R为单连通区域。更通俗地说，单连通区域是没有“洞”的区域，多连通区域是有“洞”的区域。

这两个公式物理意义不同，但从数学上来看是相同，均为把线积分转化为区域R的二重积分。二重积分要求在区域R内，向量场有定义且可导，否则无法进行二重积分。单连通区域满足这个条件。

单连通区域是数学的基本概念之一,定义有各种各样的形式;最一般的形式是: 空间E(有限维的或是无穷维的)中区域D称为单连通的,如果任何一条属于D的简单连续闭曲线,都能连续收缩到D中预先指定的任何一点,在收缩过程中曲线始终是闭的、且完全属于D。



设D是一区域，若属于D内任一简单闭曲线的内部都属于D，则称D为单连通区域，单连通区域也可以这样描述：D内任一封闭曲线所围成的区域内只含有D中的点。更通俗地说，单连通区域是没有“洞”的区域。