如何推导出圆的参数方程公式

1. 如何推导圆系方程？
2. 请问怎么将圆的参数方程化为普通方程？
3. 如何推导圆系方程？
4. 圆的标准方程怎么化成参数方程？
5. 圆的参数方程怎么转化为标准方程？

如何推导圆系方程？

圆系方程就是过已知两个圆的交点的圆系方程都能用这个式子表达。

圆的一般方程：

圆C1: x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0

圆C2: x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0

x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)

首先这个方程代表一个圆。

其次，C1C2的交点A,B满足这个方程。这是因为A在C1上，所以A的坐标代进C1的式子一定等于0。

而A也在C2上，所以A的坐标代进C2的式子一定等于0。

把C1的方程加上λ倍的C2的方程就是上面的圆系方程，所以A在圆系方程代表的圆上。同理，B也在圆系方程代表的圆上。

所以圆系方程代表过C1C2交点的圆的方程。

如果没有λ，就只能表示所有相交圆中的一个，而加入一个λ后只要λ取遍所有实数就可以表示完所有的圆，当然只要知道了这个圆经过的相交点以外的任何一个点就可以确定λ。

λ就是一个参

数，是一个可以改变的值。

请问怎么将圆的参数方程化为普通方程？

将圆的参数方程化为普通方程可以通过代入的方法进行。

对于第一个参数方程 x = 3 - 2t 和 y = -1 - 4t^2，我们可以通过将 t 表示为 x 和 y 的函数来消去参数 t。从第一个方程中解出 t：t = (3 - x)/2。将这个表达式代入第二个方程中得到 y = -1 - 4((3 - x)/2)^2。化简后可以得到普通方程为 y = -1 - (3 - x)^2。

对于第二个参数方程 x = a(t + 1/t)/2 和 y = b(t - 1/t)/2，我们可以通过类似的方式进行转换。首先将第一个方程中的 t 表达式消去：t = (sqrt(a^2(x^2 - 4) + 4) - ax)/2x。将 t 的表达式代入第二个方程中，可以得到 y = b((sqrt(a^2(x^2 - 4) + 4) - ax)/2x - 2/(sqrt(a^2(x^2 - 4) + 4) - ax)). 经过化简后，可以得到普通方程为 y = -b(1 - a^2x^2)/(2x(sqrt(a^2(x^2 - 4) + 4) - ax))。

这样转换参数方程为普通方程的目的是为了以一般的形式表示圆的方程，从而更方便地进行分析和计算。通过代入和化简的步骤，我们可以将参数方程表示的圆转化为更常见的普通方程形式。

设圆的参数方程为x＝a＋RcosA，y＝b＋RsinA，Ⅹ一a＝RcosA，y一b＝RsinA。两式两边分別平方，（x一a）＾2＝R＾2cosA＾2，（y一b）＾2＝R＾2sinA＾2，两式相加得，（x一a）＾2＋（y一b）＾2＝R＾2。

如何推导圆系方程？

步骤/方式一

圆系方程就是过已知两个圆的交点的圆系方程都能用这个式子表达。

圆的一般方程：

圆C1：x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0。

圆C2：x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0。

x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)。

首先这个方程代表一个圆。

其次，C1C2的交点A，B满足这个方程。这是因为A在C1上，所以A的坐标代进C1的式子一定等于0。

而A也在C2上，所以A的坐标代进C2的式子一定等于0。

把C1的方程加上λ倍的C2的方程就是上面的圆系方程，所以A在圆系方程代表的圆上。同理，B也在圆系方程代表的圆上。

所以圆系方程代表过C1C2交点的圆的方程。

如果没有λ，就只能表示所有相交圆中的一个，而加入一个λ后只要λ取遍所有实数就可以表示完所有的圆，当然只要知道了这个圆经过的相交点以外的任何一个点就可以确定λ。

λ就是一个参数，是一个可以改变的值。

步骤/方式二

圆系方程的推导过程

1、设有两个圆C1: x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与 C2 :x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0圆系方程就是过已知两个圆的交点的圆的方程x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)

2、首先这个方程代表一个圆。其次，C1C2的交点A,B满足这个方程。这是因为A在C1上，所以A的坐标代进C1的式子一定等于0而A也在C2上，所以A的坐标代进C2的式子一定等于0把C1的方程加上λ倍的C2的方程就是上面的圆系方程，所以A在圆系方程代表的圆上。同理，B也在圆系方程代表的圆上。所以圆系方程代表过C1C2交点的圆的方程。要注意的是，这个圆系方程不包括C2。因为不管λ取多少，D1，E1，F1这些C1中的量都不可能去掉，所以表示不了C2。但可以表示C1，只要取λ=0。

圆的标准方程怎么化成参数方程？

如果圆的圆心在坐标原点，则圆的参数方程一般为： x=rcosa y=rsina. 这个就只需要两边平方相加即可得到标准方程： x^2+y^2=r^2. 如果圆的参数方程为： x=rcosa+b y=rsina+c. 则化标准方程时需要把常数项b，c移到坐标，然后利用cos^2a+sin^2a=1,即可得到： (x-b)^2+(y-c)^2=r^2.

圆的参数方程怎么转化为标准方程？

1、两个变量分别分组，常数项移等号另一边；

2、各组变量加上一次项系数一半的平方，等号另一边也加上相同的值；

3、各组变量分别整理成完全平方式，等号另一边的常数也合并成一个数；

4、等号右边的常数写成一个数的平方的形式，则完成圆的一般方程向标准方程的转化。

例 一般方程 x^2+y^2+ax+by+c=0 【若二次项系数不是“1”，总可以化为“1”】

=> （x^2+ax)+(y^2+by)=-c

=> (x^2+ax+a^2/4)+(y^2+by+b^2/4)=-c+a^2/4+b^2/4

=> (x+a/2)^2+(y+b/2)=(a^2+b^2-4c^2)/4

标准方程 (x+a/2)^2+(y+b/2)^2=[√(a^2+b^2-4c^2)/2]^2 即为所求。

其中 圆心坐标 （-a/2 ，-b/2) ； 半径 r=√(a^2+b^2-4c^2)/2