常数变易法公式应用实例（常数变易法适用范围）

作者：admin 时间：2023-10-18 17:09:42 阅读数：6人阅读

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如下图的一个非齐次线性微分方程，就是用常数变易法求出其通解。

解：为了求这个方程的解，先考虑齐次线性方程：dy/dx-y=0，即有dy/y=dx，积分之得lny=x+lnC，于是得其通解为y=e^(x+lnC)=Ce^x，这里C为任意常数。

高数微分方程，用常数变易法和公式法，应该怎么做这一题呢？y+y=3x^2，如图，谢谢。

常数变易法公式应用实例（常数变易法适用范围）

其解为：其中C是待定常数；如果知道则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。

齐次线性微分方程的通解是指能够满足方程所有特解的一般解。齐次线性微分方程的标准形式如下：dy/dx + p(x)y = 0 其中，p(x) 是关于自变量 x 的连续函数。

通解为y(x)=(C1+C2*x)*[e^(λ1*x)]；△=p^2-4q0，特征方程具有共轭复根α+-(i*β)，通解为y(x)=[e^(α*x)]*(C1*cosβx+C2*sinβx)。至于n阶以及非齐次线性方程的情况，高数上都有。

二阶齐次微分方程的通解是先求齐次解y+y-2y=0特征根方程r^2+r-2=0r=2，-1y=Ae^(2x)+Be^(-x)然后找特解待定系数。

数变易法中，将常数C换成u(x)就可以得到非齐次线性方程的通解。

常数变易法是常微分方程中解决非齐次线性微分方程（组）的重要手段。在第二章中，我们知道了一阶非齐次线性微分方程的常数变易法，就是先把其次的解出来，把常数换成关于自变量的函数。

只需令Y1=Y2，就可以解出，前提是只需要一个解。

其实是这样的，楼主你代入原方程的时候漏了一项，原方程还有一项P(x)y，你漏了，补回这项后，可以和你求出的y中的后面一项抵消的。顺便说一句，你求y的时候有个小错误，中间的加号应该是减号。

所以看过高数书的人总是觉得“常数变易法”来的那么凶那么直接，那么神奇。对于一阶线性微分方程 y+py=q以前我一直在考虑常数变易法的实质是什么，我觉它就是个特殊的变量代换法。

如图，出于本能我还是要说一下最好是用分离变量法，非要用常数变易法的如图。

==e^(-y)dy=e^xdx ==e^(-y)=c-e^x (c是积分常数)==y=-ln|c-e^x| ∴原微分方程的通解是 y=-ln|c-e^x| 来源及发展微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。

dy/dx+y=e^(-sinx)的通解解：由dy/dx+y=0，得dy/y=-dx，lny=-x+lnC，即y=Ce^(-x)，用“参数变易法”：将C换成u；于是得y=ue^(-x)...(1)其中u是x的函数。

由于z是(x，y)的函数，需要计算的不是：dz/dx、dz/dy，而是z对x，y的偏导数。

不是x，y，而是函数关于x的偏导，和函数关于y的偏导。

==(e^y+x)y=e^x-y ==y=(e^x-y)/(e^y+x)∴dy/dx=y=(e^x-y)/(e^y+x)；2。

解：为了求这个方程的解，先考虑齐次线性方程：dy/dx-y=0，即有dy/y=dx，积分之得lny=x+lnc，于是得其通解为y=e^(x+lnc)=ce^x，这里c为任讥矗罐匪忒睹闺色酣姬意常数。

g(y)dy=f(x)dx形式，可分离变量的微分方程，直接分离然后积分。可化为dy/dx=f(y/x)的齐次方程，换元分离变量。

微分方程y-y=e^x的通解为y=Ce^x+De^(-x)+0.5xe^x。解答过程如下：y-y=0的特征方程为a^2-1=0 解是a=1或a=-1 因此通解是y=Ce^x+De^(-x)。