函数的根存在性定理
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利用零点定理判断方程根的存在性
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)乘f(b）＜0，那么，函数y=f(x)在区间（a，b)内有零点，即存在c∈（a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
如果是闭区间，你可以考虑零点定理，如果两端点的函数值异号，函数在区间连续，那么在区间内函数能取到至少一个零点。也就是至少存在一个实根。
就说零点定理有什么用吧，用零点定理可以判定根的存在性以及根的存在范围。例如下面的方程在（0，1）内有根我们用零点定理就可以判定出来，但是想要用解方程的方法解出根来却不容易。
会求函数的间断点及确定其类型。掌握闭区间上连续函数的性质，会运用零点定理证明方程根的存在性。理解初等函数在其有定义区间上连续性，掌握利用连续性求极限。
利用开覆盖定理证明函数根的存在性定理
1、应该是 “用有限覆盖定理证明连续函数的零点存在定理”。零点存在定理 设 f(x)∈C[a，b]，f(a)f(b)0，则存在 x0∈(a，b)，使 f(x0)=0。
2、首先证明f(x)=0有根。（存在性）利用根的存在定理证明即 若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且：f(a)f(b)0，那么在开区间(a，b)上，至少存在一点x0，使得：f(x0)=0.其次证明这个函数是单调的。
3、所以，根据闭区间连续函数根的存在性定理，至少存在一点ξ∈（0，a+4），使f(ξ）=0 即，方程x-2sinx=a，a0至少存在一个正实根。
4、我们还可以利用闭区间套定理来证明零点定理。
5、本文首先介绍开覆盖的定义，进而引入了有限覆盖定理，并简单介绍了它的推广。其次，我们用三种比较简单普遍的方法对有限覆盖定理进行了证明。
根的存在定理
有理根定理：设f(x)=anx^n+...+a1x+a0 ∈Z(x)，其中an≠0。
这个根的存在性定理条件就是：f(x)在闭区间[a，b]上连续，f(a)f(b)0 理解这个定理时，要注意，这个定理只是说在区间(a，b)上 根存在 ，到底存在多少个，那就要有条件了。
零点存在定理 设 f(x)∈C[a，b]，f(a)f(b)0，则存在 x0∈(a，b)，使 f(x0)=0。
零点定理通俗说就是一条曲线从负数变到正数或者正数变成负数，必须穿过x轴。使f(x)=0的数，则该x为方程根。证明函数在[a，b]上连续，就是证明其是一条曲线，保证没有断点。
如果是闭区间，你可以考虑零点定理，如果两端点的函数值异号，函数在区间连续，那么在区间内函数能取到至少一个零点。也就是至少存在一个实根。