欧拉线定理的证明过程解析（欧拉定理线段）

本文目录一览：

• 1、欧拉线定理
• 2、欧拉线超过三种证法
• 3、欧拉线的详细证明方法

欧拉线定理

欧拉线定理如下：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半，且九点圆圆心为外心与垂心连线的中点。

欧拉线定理：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。证明：如图，三角形ABC，HGO分别是其垂心，重心和外心，连接BO并延长，和外接圆O相交于D，连接AH，AD，CD和CH。

垂直轴定理（也叫正交轴定理）是一个物理学定理可以用来计算一片薄片的转动惯量。

三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半。

设△ABC的垂心、重心、外心分别为H，G，O，则向量OH=向量OA+向量OB+向量OC而向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，向量OH=3向量OG所以O、G、H三点共线，且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半。

莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。

欧拉线超过三种证法

1、∴ O、G、H三点在同一条直线上 如果使用向量，证明过程可以极大的简化，运用向量中的坐标法，分别求出O G H三点的坐标即可.欧拉线的另证：设H，G，O，分别为△ABC的垂心、重心、外心。

2、三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。

3、所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA：GD=2：1。联结CG并延长交BA于F，则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF联结FD，有FD平行AC，且有DF：AC=1：2。

4、设△ABC的垂心、重心、外心分别为H，G，O，三心共线 则向量OH=向量OA+向量OB+向量OC 而向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，向量OH=3向量OG 所以O、G、H三点共线，且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半。

欧拉线的详细证明方法

证明：欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点，连接DE，EF，FD，则△ABC与△DEF的欧拉线重合。

欧拉线的证明：作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。

证明：设△ABC的垂心、重心、外心分别为H，G，O、则向量OH=向量OA+向量OB+向量OC。而向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3。向量OH=3向量OG。所以O、G、H三点共线，且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。

欧拉线定理：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。证明：如图，三角形ABC，HGO分别是其垂心，重心和外心，连接BO并延长，和外接圆O相交于D，连接AH，AD，CD和CH。